Mustafa Geyikçi wurde 1958 in Turunçova Çavdır geboren. Nachdem er die Grundschule in Çavdır und die Mittelschule in Finike abgeschlossen hatte, absolvierte er das Kabataş-Knabengymnasium in Istanbul. Sein Grundstudium im Bereich Finanzen und Rechnungswesen an der Akademie für Wirtschafts- und Handelswissenschaften in Istanbul schloss er 1978 ab.

Während er seine kaufmännischen Tätigkeiten im Zitrusfrüchtehandel fortsetzte, war er von 1984 bis 1994 Mitglied des Gemeinderates von Turunçova, von 2004 bis 2014 Mitglied des Provinzrates und von 2014 bis 2019 Mitglied des Gemeinderates von Finike. Bei den Kommunalwahlen 2019 wurde er als Kandidat des Nationalbündnisses zum Bürgermeister von Finike gewählt. Im Jahr 2024 wurde er als Kandidat der Republikanischen Volkspartei erneut zum Bürgermeister von Finike gewählt. Er ist verheiratet, hat zwei Kinder (eine Tochter und einen Sohn) und zwei Enkelkinder.